Un nouvel ensemble de nombres

Théorème et définition   (admis)  

Il existe un ensemble noté \(\mathbb{C}\) et appelé ensemble des nombres complexes, contenant \(\mathbb{R}\) . Dans cet ensemble :

• l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ;
  
• il existe un élément dans   \(\mathbb{C}\)   , noté \(i\) , tel que  \(i^2=-1\) ;
  
• tout élément de   \(\mathbb{C}\) s'écrit de manière unique sous la forme  \(z=x+iy\) avec   \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\) .
  

Remarque

• \(i\)   n'est pas un nombre réel. Dans les calculs, on l'écrit  « \(i\)   »  comme on écrit  «  `\pi`  »  ou «  `e`  » .
  
• Contrairement à  `\pi`   ou   `e` , le nombre  \(i\)   n'a pas de valeur approchée, car c'est un nombre imaginaire.
  
• On a   \(i^2=-1\) et donc     \(i^3=-i\) ;   \(i^4=1\) ; etc.